Home · Forum · Regels · Artikelen · Links
Nifterlaca
Welkom! Log in Registreer een nieuw account

Wijzigingshistorie

Bericht: Differentiële Geodesie

Gewijzigd door: Erik Springelkamp
Wijzigingsdatum: 30 augustus 2016 13:53

Differentiële Geodesie
Dagobert Schreef:
-------------------------------------------------------
> Maar met deze ‘unfold’ heb ik het toch wat
> moeilijk.
> Ik begrijp denk ik wel wat er gebeurt, maar ik kan
> me dit niet als een ‘projectie’ voorstellen.
> Volgens mij schiet mijn voorstellingsvermogen hier
> enigszins tekort.
> Is ‘Plane charting’ in wezen niet
> projectieloos?

Tja, wat is een projectie?
https://nl.wikipedia.org/wiki/Kaartprojectie

[quote=Wikipedia]
Een kaartprojectie is een methode om het gebogen oppervlak van de Aarde over te brengen op een vlakke kaart. Als wordt afgezien van het feit dat de Aarde afgeplat is, is dit wiskundig een afbeelding van een boloppervlak of een deel daarvan naar een plat vlak.

In een aantal gevallen kan de afbeelding ook als meetkundige projectie worden weergegeven op een ontwikkelbaar oppervlak. Voor de meeste kaartprojecties gaat dit echter niet op, de term projectie wordt dan in een meer algemene zin gebruikt.
[/quote]

In het geval van deze 'plane charting' (dat is wel een beter woord dan mijn 'unfold') is het deel van het boloppervlak dat afgebeeld wordt een keten van aaneengesloten lijnstukken, en voor plekken die niet op die keten liggen is de afbeelding niet gedefinieerd. Daarom zien het coördinatennet er ook zo gek uit: uit armoede neem ik voor de snijpunten er van maar een dichtstbijzijnde kustplaats en bepaal vandaar de afstand en richting naar dat coördinatenpunt. Maar als ik een ander punt als uitgangspunt zou nemen, zou ik een andere uitkomst krijgen. Dat laat meteen zien hoe de uitkomst van de plek op de kaart afhangt van de route die je neemt.

> (De formules in je pdf-bestandje kan ik niet
> helemaal doorgronden. Ik begrijp, denk ik, wel wat
> ze doen.

Die formules houden zich met één simpele vraag bezig:

Als ik de coördinaten van twee plaatsen ken (en die heb jij allemaal opgevoerd), in welke kompasrichting ligt de ene plaats dan ten opzichte van de andere?

Let wel, dit is de startrichting. Als je in een rechte lijn vaart, zal je kompasrichting gaan verdraaien.
De kompasrichting is dus niet symmetrisch.

Een voorbeeld: als ik op de evenaar op de Greenwich meridiaan (ergens onder Nigeria) begin te vliegen naar het Noordoosten en dan recht uit blijf gaan, dan volg ik een grootcircel die een hoek van 45° met de aardas maakt, en langs de 45° parallellen raakt op 90° ooster- en wester-lengte, dus in het Noordwesten van China en tegenover Zuid Chili. Als ik vandaar terug wil reizen in een rechte lijn, moet ik beginnen recht naar het Westen of het Oosten te vliegen.

Tussen twee nabijgelegen kustplaatsen is die asymmetrie verwaarloosbaar, heel klein, en de formule tan(Δφ /cosφ Δλ) zou ook wel werken, is een goede benadering, maar daarin zie je al de variabiliteit van de cosφ factor en voor grotere afstanden, zoals naar de 10° coördinatennetwerken, gaat dat niet meer.¹

Ik heb de pdf ook gemaakt om mijn formules een beetje permanenter te maken dan verstopt tussen vellen vol met uitwerkingen in een notitieblok, maar daarvoor moest ik me eerst weer inwerken in LaTeX, dat gelukkig tegenwoordig in een mooi pakket te installeren is.

Ik zal ook de andere projecties daarin documenteren, en als ik het tekenen in LaTeX onder de knie krijg kan ik misschien nog wat diagrammen toevoegen.

> Ik zie het wel zitten om nog een stukje verder te
> gaan met het identificeren van kustplaatsen op de
> Dulchert-kaart. Turkse kust (Klein-Azië) richting
> Egypte. Ik kijk wel hoe vlot het gaat.
> Als ik een afgerond deel klaar heb zal ik het weer
> melden.
> Uiteindelijk moeten we toch de hele Middellandse
> Zee ronden … ;)

Dat zou wel mooi zijn. Een epische expeditie (:P)

Note¹:
Dit heeft me geïnspireerd om dit aspect nog eens beter te bekijken, met zeer instructieve gevolgen.

Ik heb nu twee varianten van het plane charting gemaakt: één zoals ik al beschreef, die heet nu Absolute Plane Charting, waarbij het Absolute slaat op de absolute Noord richting die telkens aangehouden wordt, en de andere heet gewoon Plane Charting, waarbij de richting tot de volgende plaats de juiste hoek ten opzichte van de vorige plaats heeft, zonder rekening te houden met het Noorden.

De Absolute Plane Charting heeft het karakter van een Mercator Projectie - zonder de schaalverandering van Noord naar Zuid, maar wel met overal een evenwijdige Noord richting.

En de gewone Plane Charting heeft het karakter van de meer platte projecties als Lambert en Circulair, die de schaal zo gelijk mogelijk houden met behoud van hoeken. Daarbij is een parallel geen rechte lijn, want dat is hij in werkelijkheid ook niet, behalve op de evenaar: als je je een parallel volgt, loop je een rondje: het meest duidelijk is dat op de pool, waar een parallel gewoon een cirkeltje om de pool is.

Een complete fit in één stuk van de hele kaart gaat met alle methoden slecht, omdat in het Westen de schaal veel groter is dan in het Oosten. Dat loopt van 1.3 tot 1.7, dat is een verschil van 30%.

Toch passen dan de cilindrische projecties van Mercator, Rectangular en Absolute Plane Charting nog het best, omdat die tenminste de algemene richting gelijk houden, terwijl de andere methoden de kaart van West naar Oost laten draaien.

[img]http://springelkamp.nl/usr/img/Geschiedenis/Portolaan/APCGlobal.png[/img]

[img]http://springelkamp.nl/usr/img/Geschiedenis/Portolaan/PCGlobal.png[/img]

Het schaalverschil tussen Oost en West is hier heel duidelijk. De Plane Charting methoden hebben globaal een constante schaal en zijn hoekgetrouw. De verschillen tussen de twee ontstaan uit de cumulatieve minieme verschillen tussen rechte lijnen (geodeten) en constante kompaskoers tussen de aangrenzende kustplaatsen.

Bij de Zwarte Zee ligt de zaak weer anders, want daar moet je na een rondje weer terug komen op dezelfde plaats. Dat is bij de Plane Charting methoden in het algemeen niet het geval.

Daar is Absolute Plane Charting dan ook de slechtste fit.
Mercator is daar ook niet zo goed, want men paste er geen schaalverandering tussen Noord en Zuid kust toe, maar de Oost en West kusten werden een beetje gebogen om de zaak passend te maken.

Dat doet de 'relative' Plane Charting ook, en die is dan ook helemaal niet zo slecht, beter dan Mercator, maar iets minder dan de andere projecties, die elkaar allemaal niet veel ontlopen, maar die per definitie het begin en einde goed laten aansluiten.

Zou je de Plane Charting een pietsje verbuigen om begin en eindpunt te laten samenvallen, dan had je dezelfde goede fit, waar de fouten alleen nog afhangen van de lokale onnauwkeurigheden die niets met de aardkromming te maken hebben.

(de nieuwe versie met deze Plane Charting methoden is weer gepubliceerd)
Gewijzigd door: Erik Springelkamp
Wijzigingsdatum: 30 augustus 2016 13:50

Re: En we hebben een winner!Differentiële Geodesie
Dagobert Schreef:
-------------------------------------------------------
> Maar met deze ‘unfold’ heb ik het toch wat
> moeilijk.
> Ik begrijp denk ik wel wat er gebeurt, maar ik kan
> me dit niet als een ‘projectie’ voorstellen.
> Volgens mij schiet mijn voorstellingsvermogen hier
> enigszins tekort.
> Is ‘Plane charting’ in wezen niet
> projectieloos?

Tja, wat is een projectie?
https://nl.wikipedia.org/wiki/Kaartprojectie

[quote=Wikipedia]
Een kaartprojectie is een methode om het gebogen oppervlak van de Aarde over te brengen op een vlakke kaart. Als wordt afgezien van het feit dat de Aarde afgeplat is, is dit wiskundig een afbeelding van een boloppervlak of een deel daarvan naar een plat vlak.

In een aantal gevallen kan de afbeelding ook als meetkundige projectie worden weergegeven op een ontwikkelbaar oppervlak. Voor de meeste kaartprojecties gaat dit echter niet op, de term projectie wordt dan in een meer algemene zin gebruikt.
[/quote]

In het geval van deze 'plane charting' (dat is wel een beter woord dan mijn 'unfold') is het deel van het boloppervlak dat afgebeeld wordt een keten van aaneengesloten lijnstukken, en voor plekken die niet op die keten liggen is de afbeelding niet gedefinieerd. Daarom zien het coördinatennet er ook zo gek uit: uit armoede neem ik voor de snijpunten er van maar een dichtstbijzijnde kustplaats en bepaal vandaar de afstand en richting naar dat coördinatenpunt. Maar als ik een ander punt als uitgangspunt zou nemen, zou ik een andere uitkomst krijgen. Dat laat meteen zien hoe de uitkomst van de plek op de kaart afhangt van de route die je neemt.

> (De formules in je pdf-bestandje kan ik niet
> helemaal doorgronden. Ik begrijp, denk ik, wel wat
> ze doen.

Die formules houden zich met één simpele vraag bezig:

Als ik de coördinaten van twee plaatsen ken (en die heb jij allemaal opgevoerd), in welke kompasrichting ligt de ene plaats dan ten opzichte van de andere?

Let wel, dit is de startrichting. Als je in een rechte lijn vaart, zal je kompasrichting gaan verdraaien.
De kompasrichting is dus niet symmetrisch.

Een voorbeeld: als ik op de evenaar op de Greenwich meridiaan (ergens onder Nigeria) begin te vliegen naar het Noordoosten en dan recht uit blijf gaan, dan volg ik een grootcircel die een hoek van 45° met de aardas maakt, en langs de 45° parallellen raakt op 90° ooster- en wester-lengte, dus in het Noordwesten van China en tegenover Zuid Chili. Als ik vandaar terug wil reizen in een rechte lijn, moet ik beginnen recht naar het Westen of het Oosten te vliegen.

Tussen twee nabijgelegen kustplaatsen is die asymmetrie verwaarloosbaar, en de formule tan(Δφ /cosφ Δλ) zou ook wel werken, maar daarin zie je al de variabiliteit van de cosφ factor en voor grotere afstanden, zoals naar de 10° coördinatennetwerken, gaat dat niet meer.¹

Ik heb de pdf ook gemaakt om mijn formules een beetje permanenter te maken dan verstopt tussen vellen vol met uitwerkingen in een notitieblok, maar daarvoor moest ik me eerst weer inwerken in LaTeX, dat gelukkig tegenwoordig in een mooi pakket te installeren is.

Ik zal ook de andere projecties daarin documenteren, en als ik het tekenen in LaTeX onder de knie krijg kan ik misschien nog wat diagrammen toevoegen.

> Ik zie het wel zitten om nog een stukje verder te
> gaan met het identificeren van kustplaatsen op de
> Dulchert-kaart. Turkse kust (Klein-Azië) richting
> Egypte. Ik kijk wel hoe vlot het gaat.
> Als ik een afgerond deel klaar heb zal ik het weer
> melden.
> Uiteindelijk moeten we toch de hele Middellandse
> Zee ronden … ;)

Dat zou wel mooi zijn. Een epische expeditie (:P)

Note¹:
Dit heeft me geïnspireerd om dit aspect nog eens beter te bekijken, met zeer instructieve gevolgen.

Ik heb nu twee varianten van het plane charting gemaakt: één zoals ik al beschreef, die heet nu Absolute Plane Charting, waarbij het Absolute slaat op de absolute Noord richting die telkens aangehouden wordt, en de andere heet gewoon Plane Charting, waarbij de richting tot de volgende plaats de juiste hoek ten opzichte van de vorige plaats heeft, zonder rekening te houden met het Noorden.

De Absolute Plane Charting heeft het karakter van een Mercator Projectie - zonder de schaalverandering van Noord naar Zuid, maar wel met overal een evenwijdige Noord richting.

En de gewone Plane Charting heeft het karakter van de meer platte projecties als Lambert en Circulair, die de schaal zo gelijk mogelijk houden met behoud van hoeken. Daarbij is een parallel geen rechte lijn, want dat is hij in werkelijkheid ook niet, behalve op de evenaar: als je je een parallel volgt, loop je een rondje: het meest duidelijk is dat op de pool, waar een parallel gewoon een cirkeltje om de pool is.

Een complete fit in één stuk van de hele kaart gaat met alle methoden slecht, omdat in het Westen de schaal veel groter is dan in het Oosten. Dat loopt van 1.3 tot 1.7, dat is een verschil van 30%.

Toch passen dan de cilindrische projecties van Mercator, Rectangular en Absolute Plane Charting nog het best, omdat die tenminste de algemene richting gelijk houden, terwijl de andere methoden de kaart van West naar Oost laten draaien.

[img]http://springelkamp.nl/usr/img/Geschiedenis/Portolaan/APCGlobal.png[/img]

[img]http://springelkamp.nl/usr/img/Geschiedenis/Portolaan/PCGlobal.png[/img]

Het schaalverschil tussen Oost en West is hier heel duidelijk. De Plane Charting methoden hebben globaal een constante schaal en zijn hoekgetrouw. De verschillen tussen de twee ontstaan uit de cumulatieve minieme verschillen tussen rechte lijnen (geodeten) en constante kompaskoers tussen de aangrenzende kustplaatsen.

Bij de Zwarte Zee ligt de zaak weer anders, want daar moet je na een rondje weer terug komen op dezelfde plaats. Dat is bij de Plane Charting methoden in het algemeen niet het geval.

Daar is Absolute Plane Charting dan ook de slechtste fit.
Mercator is daar ook niet zo goed, want men paste er geen schaalverandering tussen Noord en Zuid kust toe, maar de Oost en West kusten werden een beetje gebogen om de zaak passend te maken.

Dat doet de 'relative' Plane Charting ook, en die is dan ook helemaal niet zo slecht, beter dan Mercator, maar iets minder dan de andere projecties, die elkaar allemaal niet veel ontlopen, maar die per definitie het begin en einde goed laten aansluiten.

Zou je de Plane Charting een pietsje verbuigen om begin en eindpunt te laten samenvallen, dan had je dezelfde goede fit, waar de fouten alleen nog afhangen van de lokale onnauwkeurigheden die niets met de aardkromming te maken hebben.

(de nieuwe versie met deze Plane Charting methoden is weer gepubliceerd)
Gewijzigd door: Erik Springelkamp
Wijzigingsdatum: 30 augustus 2016 13:32

Re: En we hebben een winner!
Dagobert Schreef:
-------------------------------------------------------
> Maar met deze ‘unfold’ heb ik het toch wat
> moeilijk.
> Ik begrijp denk ik wel wat er gebeurt, maar ik kan
> me dit niet als een ‘projectie’ voorstellen.
> Volgens mij schiet mijn voorstellingsvermogen hier
> enigszins tekort.
> Is ‘Plane charting’ in wezen niet
> projectieloos?

Tja, wat is een projectie?
https://nl.wikipedia.org/wiki/Kaartprojectie

[quote=Wikipedia]
Een kaartprojectie is een methode om het gebogen oppervlak van de Aarde over te brengen op een vlakke kaart. Als wordt afgezien van het feit dat de Aarde afgeplat is, is dit wiskundig een afbeelding van een boloppervlak of een deel daarvan naar een plat vlak.

In een aantal gevallen kan de afbeelding ook als meetkundige projectie worden weergegeven op een ontwikkelbaar oppervlak. Voor de meeste kaartprojecties gaat dit echter niet op, de term projectie wordt dan in een meer algemene zin gebruikt.
[/quote]

In het geval van deze 'plane charting' (dat is wel een beter woord dan mijn 'unfold') is het deel van het boloppervlak dat afgebeeld wordt een keten van aaneengesloten lijnstukken, en voor plekken die niet op die keten liggen is de afbeelding niet gedefinieerd. Daarom zien het coördinatennet er ook zo gek uit: uit armoede neem ik voor de snijpunten er van maar een dichtstbijzijnde kustplaats en bepaal vandaar de afstand en richting naar dat coördinatenpunt. Maar als ik een ander punt als uitgangspunt zou nemen, zou ik een andere uitkomst krijgen. Dat laat meteen zien hoe de uitkomst van de plek op de kaart afhangt van de route die je neemt.

> (De formules in je pdf-bestandje kan ik niet
> helemaal doorgronden. Ik begrijp, denk ik, wel wat
> ze doen.

Die formules houden zich met één simpele vraag bezig:

Als ik de coördinaten van twee plaatsen ken (en die heb jij allemaal opgevoerd), in welke kompasrichting ligt de ene plaats dan ten opzichte van de andere?

Let wel, dit is de startrichting. Als je in een rechte lijn vaart, zal je kompasrichting gaan verdraaien.
De kompasrichting is dus niet symmetrisch.

Een voorbeeld: als ik op de evenaar op de Greenwich meridiaan (ergens onder Nigeria) begin te vliegen naar het Noordoosten en dan recht uit blijf gaan, dan volg ik een grootcircel die een hoek van 45° met de aardas maakt, en langs de 45° parallellen raakt op 90° ooster- en wester-lengte, dus in het Noordwesten van China en tegenover Zuid Chili. Als ik vandaar terug wil reizen in een rechte lijn, moet ik beginnen recht naar het Westen of het Oosten te vliegen.

Tussen twee nabijgelegen kustplaatsen is die asymmetrie verwaarloosbaar, en de formule tan(Δφ /cosφ Δλ) zou ook wel werken, maar daarin zie je al de variabiliteit van de cosφ factor en voor grotere afstanden, zoals naar de 10° coördinatennetwerken, gaat dat niet meer.¹

Ik heb de pdf ook gemaakt om mijn formules een beetje permanenter te maken dan verstopt tussen vellen vol met uitwerkingen in een notitieblok, maar daarvoor moest ik me eerst weer inwerken in LaTeX, dat gelukkig tegenwoordig in een mooi pakket te installeren is.

Ik zal ook de andere projecties daarin documenteren, en als ik het tekenen in LaTeX onder de knie krijg kan ik misschien nog wat diagrammen toevoegen.

> Ik zie het wel zitten om nog een stukje verder te
> gaan met het identificeren van kustplaatsen op de
> Dulchert-kaart. Turkse kust (Klein-Azië) richting
> Egypte. Ik kijk wel hoe vlot het gaat.
> Als ik een afgerond deel klaar heb zal ik het weer
> melden.
> Uiteindelijk moeten we toch de hele Middellandse
> Zee ronden … ;)

Dat zou wel mooi zijn. Een epische expeditie (:P)

Note¹:
Dit heeft me geïnspireerd om dit aspect nog eens beter te bekijken, met zeer instructieve gevolgen.

Ik heb nu twee varianten van het plane charting gemaakt: één zoals ik al beschreef, die heet nu Absolute Plane Charting, waarbij het Absolute slaat op de absolute Noord richting die telkens aangehouden wordt, en de andere heet gewoon Plane Charting, waarbij de richting tot de volgende plaats de juiste hoek ten opzichte van de vorige plaats heeft, zonder rekening te houden met het Noorden.

De Absolute Plane Charting heeft het karakter van een Mercator Projectie - zonder de schaalverandering van Noord naar Zuid, maar wel met overal een evenwijdige Noord richting.

En de gewone Plane Charting heeft het karakter van de meer platte projecties als Lambert en Circulair, die de schaal zo gelijk mogelijk houden met behoud van hoeken. Daarbij is een parallel geen rechte lijn, want dat is hij in werkelijkheid ook niet, behalve op de evenaar: als je je een parallel volgt, loop je een rondje: het meest duidelijk is dat op de pool, waar een parallel gewoon een cirkeltje om de pool is.

Een complete fit in één stuk van de hele kaart gaat met alle methoden slecht, omdat in het Westen de schaal veel groter is dan in het Oosten. Dat loopt van 1.3 tot 1.7, dat is een verschil van 30%.

Toch passen dan de cilindrische projecties van Mercator, Rectangular en Absolute Plane Charting nog het best, omdat die tenminste de algemene richting gelijk houden, terwijl de andere methoden de kaart van West naar Oost laten draaien.

[img]http://springelkamp.nl/usr/img/Geschiedenis/Portolaan/APCGlobal.png[/img]

[img]http://springelkamp.nl/usr/img/Geschiedenis/Portolaan/PCGlobal.png[/img]

Het schaalverschil tussen Oost en West is hier heel duidelijk. De Plane Charting methoden hebben globaal een constante schaal en zijn hoekgetrouw. De verschillen tussen de twee ontstaan uit de cumulatieve minieme verschillen tussen rechte lijnen (geodeten) en constante kompaskoers tussen de aangrenzende kustplaatsen.

Bij de Zwarte Zee ligt de zaak weer anders, want daar moet je na een rondje weer terug komen op dezelfde plaats. Dat is bij de Plane Charting methoden in het algemeen niet het geval.

Daar is Absolute Plane Charting dan ook de slechtste fit.
Mercator is daar ook niet zo goed, want men paste er geen schaalverandering tussen Noord en Zuid kust toe, maar de Oost en West kusten werden een beetje gebogen om de zaak passend te maken.

Dat doet de 'relative' Plane Charting ook, en die is dan ook helemaal niet zo slecht, beter dan Mercator, maar iets minder dan de andere projecties, die elkaar allemaal niet veel ontlopen, maar die per definitie het begin en einde goed laten aansluiten.

Zou je de Plane Charting een pietsje verbuigen om begin en eindpunt te laten samenvallen, dan had je dezelfde goede fit, waar de fouten alleen nog afhangen van de lokale onnauwkeurigheden die niets met de aardkromming te maken hebben.

(de nieuwe versie met deze Plane Charting methoden is weer gepubliceerd)

Originele bericht

Auteur: Erik Springelkamp
Datum: 30 augustus 2016 13:31

Re: En we hebben een winner!
Dagobert Schreef:
-------------------------------------------------------
> Maar met deze ‘unfold’ heb ik het toch wat
> moeilijk.
> Ik begrijp denk ik wel wat er gebeurt, maar ik kan
> me dit niet als een ‘projectie’ voorstellen.
> Volgens mij schiet mijn voorstellingsvermogen hier
> enigszins tekort.
> Is ‘Plane charting’ in wezen niet
> projectieloos?

Tja, wat is een projectie?
https://nl.wikipedia.org/wiki/Kaartprojectie

[quote=Wikipedia]
Een kaartprojectie is een methode om het gebogen oppervlak van de Aarde over te brengen op een vlakke kaart. Als wordt afgezien van het feit dat de Aarde afgeplat is, is dit wiskundig een afbeelding van een boloppervlak of een deel daarvan naar een plat vlak.

In een aantal gevallen kan de afbeelding ook als meetkundige projectie worden weergegeven op een ontwikkelbaar oppervlak. Voor de meeste kaartprojecties gaat dit echter niet op, de term projectie wordt dan in een meer algemene zin gebruikt.
[/quote]

In het geval van deze 'plane charting' (dat is wel een beter woord dan mijn 'unfold') is het deel van het boloppervlak dat afgebeeld wordt een keten van aaneengesloten lijnstukken, en voor plekken die niet op die keten liggen is de afbeelding niet gedefinieerd. Daarom zien het coördinatennet er ook zo gek uit: uit armoede neem ik voor de snijpunten er van maar een dichtstbijzijnde kustplaats en bepaal vandaar de afstand en richting naar dat coördinatenpunt. Maar als ik een ander punt als uitgangspunt zou nemen, zou ik een andere uitkomst krijgen. Dat laat meteen zien hoe de uitkomst van de plek op de kaart afhangt van de route die je neemt.

> (De formules in je pdf-bestandje kan ik niet
> helemaal doorgronden. Ik begrijp, denk ik, wel wat
> ze doen.

Die formules houden zich met één simpele vraag bezig:

Als ik de coördinaten van twee plaatsen ken (en die heb jij allemaal opgevoerd), in welke kompasrichting ligt de ene plaats dan ten opzichte van de andere?

Let wel, dit is de startrichting. Als je in een rechte lijn vaart, zal je kompasrichting gaan verdraaien.
De kompasrichting is dus niet symmetrisch.

Een voorbeeld: als ik op de evenaar op de Greenwich meridiaan (ergens onder Nigeria) begin te vliegen naar het Noordoosten en dan recht uit blijf gaan, dan volg ik een grootcircel die een hoek van 45° met de aardas maakt, en langs de 45° parallellen raakt op 90° ooster- en wester-lengte, dus in het Noordwesten van China en tegenover Zuid Chili. Als ik vandaar terug wil reizen in een rechte lijn, moet ik beginnen recht naar het Westen of het Oosten te vliegen.

Tussen twee nabijgelegen kustplaatsen is die asymmetrie verwaarloosbaar, en de formule tan(Δφ /cosφ Δλ) zou ook wel werken, maar daarin zie je al de variabiliteit van de cosφ factor en voor grotere afstanden, zoals naar de 10° coördinatennetwerken, gaat dat niet meer.¹

Ik heb de pdf ook gemaakt om mijn formules een beetje permanenter te maken dan verstopt tussen vellen vol met uitwerkingen in een notitieblok, maar daarvoor moest ik me eerst weer inwerken in LaTeX, dat gelukkig tegenwoordig in een mooi pakket te installeren is.

Ik zal ook de andere projecties daarin documenteren, en als ik het tekenen in LaTeX onder de knie krijg kan ik misschien nog wat diagrammen toevoegen.

> Ik zie het wel zitten om nog een stukje verder te
> gaan met het identificeren van kustplaatsen op de
> Dulchert-kaart. Turkse kust (Klein-Azië) richting
> Egypte. Ik kijk wel hoe vlot het gaat.
> Als ik een afgerond deel klaar heb zal ik het weer
> melden.
> Uiteindelijk moeten we toch de hele Middellandse
> Zee ronden … ;)

Dat zou wel mooi zijn. Een epische expeditie (:P)

Note¹:
Dit heeft me geïnspireerd om dit aspect nog eens beter te bekijken, met zeer instructieve gevolgen.

Ik heb nu twee varianten van het plane charting gemaakt: één zoals ik al beschreef, die heet nu Absolute Plane Charting, waarbij het Absolute slaat op de absolute Noord richting die telkens aangehouden wordt, en de andere heet gewoon Plane Charting, waarbij de richting tot de volgende plaats de juiste hoek ten opzichte van de vorige plaats heeft, zonder rekening te houden met het Noorden.

De Absolute Plane Charting heeft het karakter van een Mercator Projectie - zonder de schaalverandering van Noord naar Zuid, maar wel met overal een evenwijdige Noord richting.

En de gewone Plane Charting heeft het karakter van de meer platte projecties als Lambert en Circulair, die de schaal zo gelijk mogelijk houden met behoud van hoeken. Daarbij is een parallel geen rechte lijn, want dat is hij in werkelijkheid ook niet, behalve op de evenaar: als je je een parallel volgt, loop je een rondje: het meest duidelijk is dat op de pool, waar een parallel gewoon een cirkeltje om de pool is.

Een complete fit in één stuk van de hele kaart gaat met alle methoden slecht, omdat in het Westen de schaal veel groter is dan in het Oosten. Dat loopt van 1.3 tot 1.7, dat is een verschil van 30%.

Toch passen dan de cilindrische projecties van Mercator, Rectangular en Absolute Plane Charting nog het best, omdat die tenminste de algemene richting gelijk houden, terwijl de andere methoden de kaart van West naar Oost laten draaien.

[img]http://springelkamp.nl/usr/img/Geschiedenis/Portolaan/APCGlobal.png[/img]

[img]http://springelkamp.nl/usr/img/Geschiedenis/Portolaan/PCGlobal.png[/img]

Het schaalverschil tussen Oost en West is hier heel duidelijk. De Plane Charting methoden hebben globaal een constante schaal en zijn hoekgetrouw. De verschillen tussen de twee ontstaan uit de cumulatieve minieme verschillen tussen rechte lijnen (geodeten) en constante kompaskoers tussen de aangrenzende kustplaatsen.

Bij de Zwarte Zee ligt de zaak weer anders, want daar moet je na een rondje weer terug komen op dezelfde plaats. Dat is bij de Plane Charting methoden in het algemeen niet het geval.

Daar is Absolute Plane Charting dan ook de slechtste fit.
Mercator is daar ook niet zo goed, want men paste er geen schaalverandering tussen Noord en Zuid kust toe, maar de Oost en West kusten werden een beetje gebogen om de zaak passend te maken.

Dat doet de 'relative' Plane Charting ook, en die is dan ook helemaal niet zo slecht, beter dan Mercator, maar iets minder dan de andere projecties, die elkaar allemaal niet veel ontlopen, maar die per definitie het begin en einde goed laten aansluiten.

Zou je de Plane Charting een pietsje verbuigen om begin en eindpunt te laten samenvallen, dan had je dezelfde goede fit, waar de fouten alleen nog afhangen van de lokale onnauwkeurigheden die niets met de aardkromming te maken hebben.