Wat betreft de projectie.
Bij het afbeelden van een boloppervlak op een vlakke kaart treden onvermijdelijk vervormingen op.
Vervormingen kunnen van twee soorten zijn: vervorming van schaal en vervorming van hoeken.
Een foto vanuit de ruimte geeft het gebied recht onder helemaal goed weer, maar naarmate je naar de randen gaat wordt het beeld 'samengeknepen', omdat je daar het oppervlak onder een hoek ziet. De afstanden in de kijkrichting worden korter, terwijl de afstanden loodrecht daarop in eerste orde goed blijven, al is er ook nog een schaal effect omdat het oppervlak daar verder weg is.
Was de aarde een pannenkoek dan traden al die effecten niet op, want ook al is de rand van de pannenkoek verder weg van de camera, de rand van je kaart is op dezelfde manier verder weg van je oog, zodat dat elkaar precies opheft.
Omdat onze landmeetmethode nu juist gebaseerd is hoekmetingen, en de getrouwe afbeelding van de vorm het sterke punt is, (terwijl in die tijd een juiste afstandsmeting eigenlijk moeilijker was) vinden we die vervorming naar de rand van de kaart wel erg vervelend.
Hoe groot zijn die vervormingen nu eigenlijk voor het Middellandse Zee gebied.
Een 'rechthoek' van Casablanca (33° NB, 8° WL) tot Rostov (47° NB, 40° OL) is 14° hoog en 48° breed.
De lengte van een lengtegraad is een factor cos(breedte) kleiner dan de constante lengte van een breedtegraad.
cos(Casablanca) = 0,84
cos(Rostov) = 0,68
0,84 / 0,68 = 1,23
Op een mercatorprojectie, waar de lengte van een lengtegraad op alle breedtes gelijk wordt afgebeeld, wordt de omgeving van Rostov dus 23% groter afgebeeld dan de omgeving van Casablanca.
Wel wordt de vorm van de lokale omgeving in zowel Casablanca als Rostov precies juist weergegeven. Dat komt omdat de mercatorprojectie de breedtegraden steeds verder uit elkaar afbeeld (en je nooit bij de Noordpool aankomt op een Mercatorkaart).
De Mercatorprojectie is niet de enige projectie die lokaal alle hoeken juist afbeeld.
Je kunt bijvoorbeeld ook één centraal punt nemen en de afbeelding vergroten naarmate je verder van dit centrum komt. Je zou ook één stuk kustlijn in vaste schaal kunnen kunnen houden, en dan een vergroting toepassen naarmate je verder van die kustlijn af zit. etc. (De Mercatorprojectie neemt dus de evenaar als lijn met vaste schaal.)
Als je dus allemaal kaartfragmenten die elk op zich helemaal vormgetrouw zijn (de gebiedjes zijn daarvoor klein genoeg) aan elkaar breidt, dan moet je van een aantal de schaal steeds een beetje meer opblazen om het geheel passend rond aan elkaar te krijgen.
Maar de Mercatorprojectie heeft één andere eigenschap waarmee hij helemaal vastligt: Het Noorden wijst overal recht naar boven.
Om over langere afstanden de richting van de kaartfragmenten te ijken, zal de positie naar het Noorden regelmatig ingetekend worden. Wanneer je bij het aan elkaar passen van de fragmenten die richting vasthoudt, dan dwingt je dit dus om je schaalaanpassingen precies volgens de Mercatorprojectie uit te voeren.
Ook binnen kleinere gebieden is de schaalverandering al veel groter dan de onnauwkeurigheid van de meetmethode, bij een hoeknauwkeurigheid die beter is dan 1°
Genua heeft cos(44°) = 0,72
Palermo heeft cos(38°) = 0,79
0,79 / 0,72 = 1,10
dus 10% verschil in schaal
Voor het vergroten of verkleinen van een kaartfragment met een paar procent bestaan eenvoudige meetkundige constructies, die men zeer zeker kende.
Onze meetmethode kan volgens mijn analyse de fouten binnen de 2% houden, en beter op grotere afstanden.
De gemiddelde fouten van de Portolaankaarten liggen in de orde van de 10 km, dat is een 2% fout in een regio van 500 km, een 1% fout binnen een regio van 1000 km. Kortom, die komt in orde van grootte overeen met de verwachte waarde voor de techniek.
Men is zich ongetwijfeld van deze problematiek bewust geweest tijdens het samenstellen van die kaarten.
Zoals deze verhandeling laat zien komt er geen enkele wiskunde voor in het verhaal die boven de vermogens van die Middeleeuwers lag. Als je zelf aan het meten, tekenen schuiven en passen gaat, dan wordt het allemaal al doende duidelijk - terwijl het nog helemaal niet mee zou vallen om dat allemaal met zuivere geodetische formules te definiëren. Maar daar had men als niet-academici dan ook helemaal geen behoefte aan, en dat is ook helemaal niet nodig om een goede kaart te maken van de kwaliteit van een Portolaan.
Wat nodig is is een aantal manjaren van capabele stuurlieden en hun schepen. Geen verzamelen van random koopvaarders gegevens, maar gerichte expedities, wellicht vermomd als andere missie.