RV Burger Schreef:
-------------------------------------------------------
> Men wist in de latere Middeleeuwen wat een
> driehoeksmeting was. Euclides was bekend (?). En
> Euclides is grotendeels meten van en met
> driehoeken.
Ja, meetkunde was een onderwerp dat aan de universiteiten onderwezen werd. Er waren goede universiteiten in Noord Italië (Bologna), en ik mag aannemen dat een flink aantal zonen van gegoede burgers daar gingen studeren, als we weten dat zelfs een aantal zonen van gegoede Friezen helemaal naar Parijs etc. gingen om te studeren.
> Ik heb begrepen dat een portolaankaart een soort
> grove mercatorprojectie hanteert. De vraag is als
> ik het goed begrijp: hoe komt men aan die
> projectie?
>
> Men wist dat de aarde een bol was. Men wist dus
> ook dat elke projectie van werkelijke afstanden in
> hun onderling verband op een plat vlak nooit
> foutloos kon geschieden, zeker als het om grotere
> gebieden ging. .
>
> Wilde men toch een mooie platte kaart krijgen, dan
> moest men smokkelen met de afstanden van de
> breedtegraden. Als we ons beperken tot het
> noordelijk halfrond, dan moest men de noordelijke
> breedtegraden iets uitrekken of de zuidelijke
> breedtegraden iets indikken.
Zoals ik al in een andere post heb verteld zijn er talloze manieren om een deel van een boloppervlak op een vlakke kaart te projecteren, waarbij je telkens iets anders aan een getrouwe afbeelding verliest:
De schaal kan variëren over de kaart, of de hoeken zullen vervormen over de kaart.
Je kunt een kaart maken waarbij de oppervlaktes overal dezelfde schaal hebben, of waar hoeken overal juist worden afgebeeld, of waar afstanden tot bepaalde regio's juist worden afgebeeld.
Een kaart waarbij de geografische lengte en breedte als een vierkant netwerk wordt gebruikt - een theoretisch uiterst simpel model en in 100 AD al eens toegepast - heeft trouwens geen enkele van deze eigenschappen.
[
nl.wikipedia.org]
Kaarten van middelgrote landen gebruiken vaak een kegelprojectie die oppervlakte of vorm behouden, of een beetje daartussenin. Op het noordelijk halfrond zullen de meridianen daarbij naar elkaar toelopen. Op zulke kaarten is een kompasroos dus zinloos.
Zelfs op stafkaarten is dit effect te zien als je heel goed kijkt: de meridiaanlijnen, aangegeven op de randen, lopen er niet helemaal parallel.
Je kunt een kaartprojectie beschrijven door een globale constructie aan te geven, zoals met kegels of cylinders of vlakken en projectielijnen, en dat is de meer gebruikelijke manier om het te doen, maar een kaartprojectie kan ook gedefinieerd worden door voor iedere plaats aan te geven wat de lokale vervorming is: schaal, en hoekverndering in verschillende richtingen. Dit is wiskundig veel ingewikkelder, en is pas in het midden van de 19e eeuw theoretisch uitgewerkt door Riemann. Zijn werk vormt de basis voor Einstein's Algemene Relativiteitstheorie als je het op 4 dimensies ipv 3 loslaat.
> Zonder een mathematische formule te kennen en te
> gebruiken kon men toch op grove wijze berekenen
> hoe groot die indikkings- of uitrekkingsfactor
> per, zeg, 50 km moest zijn. Men kende al bij
> benadering de lengte van de evenaar en dus ook de
> kortste afstand van de evenaar tot de noordpool. .
Die formules zijn inderdaad heel eenvoudig: het gaat om de cosinus van de breedtegraad (dus niet constant). Maar het model dat je beschrijft gaat al uit van het idee om de Noordpool en de evenaar een bijzondere rol te geven.
Dat is op zich helemaal niet nodig, en de meeste praktische landkaarten doen dat ook niet, al zie je dat voor een kleiner gebied meestal niet meteen:
In dit kaartje van Duitsland zie je dat Nederland al een beetje naar rechts gekanteld is, en Polen een beetje naar links, want men wilde op het kaarje de afstanden overal zo'n beetje gelijk houden. Het kaartje heeft dan ook geen kompasroos, maar een afstandschaal. Het moet letterlijk uit de lengte of de breedte komen
> Aldus kwam men op een soort
> protomercatorprojectie.
Je komt alleen op een mercatorprojectie als je:
- overal de hoeken in takt laat.
- overal de noordrichting recht naar boven laat wijzen.
Dan moet je dus de schaal van Zuid naar Noord toe laten nemen als cosinus (breedtegraad)
(de schaalfactor neemt dan af, dus de schaal wordt groter)
Op de breedtegraad van Genua 44°25' betekent dat dat per 100 km naar het zuiden de schaal met 1.1% afneemt. Een vierkant met zijde van 100 km vanuit Genua wordt op een Mercatorprojectie dus een trapezium met een onderkant van 99 km en een bovenkant van 100 km.
Merk trouwens op dat als je vanuit Genua kaarsrecht 100 km naar Oost, dan Zuid, dan West en dan weer Noord wandelt, je ongeveer een kilometer naast je startpunt uitkomt.
Op dezelfde manier kom je al landmetend alsof je op een plat vlak zit na een ronde niet weer goed uit op je beginpositie.
> Vertel ik nu onzin? Zie ik iets over het hoofd?
Helemaal niet, en in grote lijnen denken we hier hetzelfde over, alleen is de Mercatorprojectie niet uniek, maar voldoet aan een paar specifieke voorwaarden, die echter helemaal niet zo onaannemelijk zijn.
> Het staat je vrij om mijn overweging helemaal af
> te kraken. Ik ben hier niet om bijval te krijgen.
> Integendeel.
Van mijn kant dus geen afkraken, alleen nuancering met details.