Ik ben ik me ondertussen bewust geworden van een verschil in representatie van de gemiddelde fout in mijn werk en dat van Nicolai.
Nicolai neemt de fout in noord-zuid richting apart van de fout in oost-west richting, en kiest dan de grootste als overall waarde.
Ik neem de afstand zelf als fout, en volgens Pythagoras is het kwadraat daarvan de som van de kwadraten van de fout in beide richtingen. Dat past trouwens netjes in een statistiek waarbij de gemiddelde fouten optellen als de som van kwadraten: die statistische theorie is één grote stelling van Pythagoras.
In ieder geval komt het er op neer dat Nicolai zijn fouten ruwweg als 70% van die van mij presenteert. En daarmee komen de best fittende trajecten bij mij en bij hem beter overeen.
Maar nu wat kaartanalyse:
Dit is een fit aan de Mercatorprojectie van alle locaties.
Het heeft een gemiddelde fout van 85 km, maar we zien meteen dat de grootste bijdrage tot dat gemiddelde van de Atlantische kust komt, die op de Portolaankaart veel kleiner wordt weergegeven dan het Middellandse Zeegebied. (de rode stippen zijn de geprojecteerde werkelijke posities, de anders gekleurde zijn de posities op de kaart).
Aan de andere kant is de Zwarte Zee groter weergegeven dan de Middellandse Zee.
We kunnen dit ook in de scan-grafiek terugzien, waar we de metriek (in km/pixel, rechts is kleine schaal, links is grote schaal) tegen de breedte weergeven. Voor de duidelijkheid heb ik de atlantische kust blauw gemaakt, de Middellandse Zee groen, en de Zwarte Zee zwart. De kleuren kunnen per collectie gekozen worden in de Symbol kolom.
We hebben al gezien hoe een behoud van Noord richting bij een plane charting methode een min of meer cilindrische projectie oplevert. Maar in tegenstelling tot de Mercatorprojectie heeft plane charting in principe overal dezelfde schaal, en dat leidt tot discontinuïteiten wanneer een karteringspad na een route terugkeert.
Zo zien we dat de Noordkust van de Middellandse Zee korter is dan de Zuidkust, als gevolg van de kromming van de aarde. Dit dwingt de Oostkust van Iberië naar het Oosten, en de Algerijnse kust naar het Westen in een globale fit:
Behalve van de verschillen in schaal tussen de drie gebieden heeft deze fit dus ook grote last van dit effect, en waar de Mercatorprojectie hier een fout van 85 km heeft, heeft de cilindrische plane charting hier een fout van 127 km.
Het aardige is dat een groot deel van deze fout weggewerkt kan worden door bij het plane charting fouten te maken met de orde van grootte waarvan we aannemen dat die sowieso optraden, dat wil zeggen een fout van ruwweg 20% van de afstand tussen nabijgelegen plaatsen. Omdat telkens de noordrichting als absolute waarde bewaard blijft, corrigeren deze fouten zich statistisch voor een groot deel.
Dat is niet het geval als de kustlijn met een landmeetkundige methode bepaald wordt zonder gebruik van een kompas. Dan blijft iedere fout doorwerken in alle opvolgende constructies, en zal het kaartbeeld over grotere afstanden totaal uit de hand lopen, zelfs als onze nauwkeurigheid per stap 10 keer zo nauwkeurig is.
Dat hebben Dagobert en ik ook ervaren bij onze constructie pogingen met scheepjes, waarbij de methode die we gebruikten nog eens extra instabiel was.
Laten we dus aannemen dat er bij het karteren per stap forse fouten gemaakt werden. Dat is ook wat we zien: op microniveau liggen de plaatsen flink naast de 'ware' positie, maar over vele stappen klopt het weer aardig goed. Dat komt dus niet door een geheimzinnige bron van hoge kwaliteit, maar is het gevolg van elementaire statistiek en een fundamentele stabilisator in de vorm van het Noorden, die iedere zeeman zelfs zonder kompas astronomisch goed kan bepalen.
Nu kunnen random fouten alle kanten op gaan, maar voor zover zij van invloed zijn geweest op de Portolaankaarten zijn zij een specifieke (maar wel toevallige) richting opgegaan.
Het is daarom niet onredelijk om uit een aantal random constructies een goed passende te nemen.
Het aantal pogingen om de beste fit te vinden is instelbaar in het veld 'Attempts' op de 'Fit' tab, en staat standaard op 100. Dat is niet buitengewoon groot, want de constructie bestaat ondertussen uit bijna 1000 stappen, en met 100 pogingen is het dus geenszins zo dat bij iedere stap precies de feitelijk gemaakte fout nagedaan wordt, maar het geeft de fit enigszins de mogelijkheid om de grote lijn van de afwijkingen enigszins te volgen. In de enorme statistische ruimte die wordt opgespannen door 1000 gebeurtenissen is een keuze in de beste 1% niet extreem.
Dat leidt dan bijvoorbeeld tot deze fit (reproduceerbaar door na opening van het programma meteen een 'Fit' te doen, aangezien de random number generator in het programma met een vaste seed begint.
Deze fit van een zogenaamde 'Bad Cylindric Charting' met een 20% random fout per stap, en dan na 100 pogingen de beste kiezen, levert zelfs een betere fit dan de Mercatorprojectie, met een gemiddelde fout van 83 km. Hier hebben de random fouten voor een goed deel samengewerkt om de Iberisch-Barbarijse verschuiving te corrigeren, al is het niet gelukt om ook de noord-zuid afstand tussen deze gebieden tegelijkertijd goed te krijgen: de Barbarijse kust komt nogal noordelijk uit.
Ik zeg niet dat dit de manier is waarop de kaart uiteindelijk geconstrueerd is: voor het corrigeren van de noord en zuid kustlengte in de Middellandse Zee zijn ongetwijfeld meer sturende ingrepen geweest dan een toevallig goede uitkomst. Mijn punt was om de orde van grootte van de totaalafwijkingen als gevolg van fouten op lokaal niveau in het globale beeld te tonen, en we zien hier dat deze effecten van dezelfde orde van grootte zijn als de globale effecten van de kromming van de aarde.
Deze kaartbeelden leiden me nu tot de volgende stappen die ik wil uitvoeren.
- De Atlantische kust en de Zwarte Zee als aparte aanhangsels beschouwen. Marokko wordt daarvoor aan Portugal geknoopt, en Klein Azië aan Griekenland. (aanknopen in de zin zoals Sicilië aan de laars van Italië is geknoopt.
- De Barbarijse kust aan Tarifa knopen, en van West naar Oost doorlopen. De Golf van Sirte lijkt de plaats waar de fouten van rondgang om de Middellandse Zee voor het grootste deel zijn weggemoffeld, dus daar wil ik de constructies vanuit beide zijden laten eindigen.